EricW a écrit : ↑22 sept. 2022, 19:13
Partant de là, il faut trouver un rectangle :
1. dont la diagonale s'inscrive dans le diamètre de la mortaise (peut-être un chouia moins pour ne pas trop fragiliser l'affaire.
2. la diagonale va imposer une proportion largeur/hauteur, thank you pythagore.
3. choisir le couple (largeur, hauteur) donnant l'aire qui approche au mieux l'aire de la section cylindrique ci-dessus calculée.
Je me suis amusé à résoudre !
Si on fait brutalement avec L comme inconnue principale, on obtient une équation du 4e degré en L, mais en fait du 2e degré en L^2, donc analytiquement c’est faisable en L (mais un peu lourd, je fais autrement).
- Soir A l’aire de la perce du barillet (diamètre en gros 15 mm), et D le diamètre qu'on se choisit (légèrement inférieur à celui de la mortaise, en gros 20 mm). Je pose m= D^2/A (sans unité, et qui m'arrange).
L et l du rectangle sont les 2 inconnues principales (longueur et largeur du rectangle). Je prends r=L/l (élancement du rectangle, supérieur à 1) comme inconnue secondaire qui m'arrange.
- les 2 équations de base ont (cf Eric):
Pythagore: D=racine (L^2+l^2) et l’aire du rectangle A= L.l
- avec l’inconnue secondaire r, (et m), ça se réduit à:
r^2 -m.r +1 =0 (magique !
)
A cause du 1 (produit des racines), on aura une racine supérieure et une autre inférieure à 1, donc on choisira la plus grande, supérieure à 1 (élancement)
- la solution en r est: r = (m + racine(m^2 - 4) ) /2
et on revient aux inconnues principales par : l = racine (A/r) et L = r.l, et c'est fini !
- exemple: avec diamètre perce barillet 15 mm (A= 176,7 mm^2), et D=20 mm
m = 2,263 , la résolution donne r= 1,6615 (qui est plus grand que ce que j'aurais pensé au départ ...
)
donc l=10,31 mm et L=17,13 mm
Sur la photo donnée plus haut, on a un élancement d'environ 1,6... (on pourrait remonter à D qui donne un élancement de 1,6 ...)
Je me suis super bien amusé (il y a longtemps que je n'avais pas fait de petites maths !)
(à chacun ses petits amusements ! ...
)
EDIT: si on s’impose un élancement de 1,6 comme sur la photo,
par l’équation « magique » on a m=2,225,
on obtient D=racine(m.A) = 19,83 mm qui est très proche des 20 mm choisis ! c'est cohérent....